QuantAlgos

В прошлой части мы рассмотрели оптимальное управление inventory risk в маркетмейкерском алгоритме. Напомню, что формулы для нейтральной цены и оптимального спреда между лимитными ордерами были получены при допущении, что цена следует геометрическому броуновскому движению. Управление inventory risk для моделей цены, более приближенными к реальности, рассматривается, например, в статье Pietro Fodra & Mauricio Labadie "High-frequency market-making with inventory constraints and directional bets" . Однако, применить напрямую на практике алгоритмы из этих статей вряд ли получится, так как в них  не учитывается действие adverse selection risk . Поэтому в данной части рассмотрим работу JIANGMIN XU "Optimal Strategies of High Frequency Traders", в которой автор делает попытку учесть этот вид риска.

 Для этого необходимо получить предсказание направления движения цены в коротком промежутке времени ( мы говорим о высокочастотных алгоритмах, поэтому такой промежуток будет измеряться в секундах, или даже долях секунды). JIANGMIN XU предлагает учитывать зависимость цены от дисбаланса объемов в стакане, который равен  разности между логарифмами объема лучшей покупки и объема лучшей продажи $F=\log(Q_{\text{bestbid}})-\log(Q_{\text{bestask}})$. Этот дисбаланс следует процессу Орнштейна-Уленбека с нулевым средним:

 $dF_t=-\alpha_F F_t dt+\sigma_F dW_t$, где

$\alpha_F$ - константа, отражающая скорость колебаний вокруг среднего,

$\sigma_F$ - постоянная, отражающая волатильность процесса,

$dW_t$ - случайный броуновский процесс.

Далее нам понадобится модель спреда $S_t$ - разницы цен между лучшим аском и лучшим бидом- которая представляет собой марковский процесс с тремя состояниями - $\mathbb{S}=\{\delta,2\delta,3\delta\}$, где $\delta$ - шаг цены. Матрицу вероятностей переходов обозначим $\rho=(\rho_{i,j})_{1\leq i,j\leq3}$,  $\rho_{i,i}=0.$

В качестве модели прироста цены актива возьмем один из видов марковского процесса - pure-jump process :

$dP_t=dJ_{1t}+dJ_{2t}$, где

$dJ_{1t}$ - первая составляющая имеет интенсивность скачков цены $\lambda^J_1$, величину скачка $\frac{\delta}{2}$  с вероятностью $\psi_1(F_t)$ и  величину скачка $-\frac{\delta}{2}$  с вероятностью $1-\psi_1(F_t)$ ,
$dJ_{2t}$ - вторая составляющая имеет интенсивность скачков $\lambda^J_2$, величину скачка $\delta$  с вероятностью $\psi_2(F_t)$ и  величину скачка $-\delta$  с вероятностью $1-\psi_2(F_t)$ ,

где функция $\psi_i$ имеет форму  

$\psi_i(u)=\frac{1}{1+\exp(-\beta_i u)}$, для i =1,2.

Дисбаланс объемов $F_t$  в стакане влияет на скачок цены в следующий момент времени таким образом: если $F_t>0$  цена с большей вероятностью будет расти и наоборот. Этот сигнал конечно не идеален, но позволяет предсказывать цену на каком-то временном промежутке и будет полезен для формирования формулы оптимального управления рисками в рамках HFT стратегии.

Сформулируем основные стратегии для HFT алгоритма:

1. Котирование (make strategy). В рамках этой  стратегии алгоритм может располагать лимитные ордера на best bid или best ask, а если спред $S_t>\delta$, то ордера могут располагаться на ценовых уровнях $P_t-S_t/2+\delta$ ($P_t+S_t/2-\delta$), для увеличения вероятности взятия ордера с меньшими затратами,чем затраты при гарантированном исполнении (если, конечно, не учитывать задержки выставления) маркет ордера. Эту модель представим в виде непрерывного процесса:

$\theta^{mk}_t=\{\theta^{mk,b}_t,\theta^{mk,a}_t\}, t\geq0$, где

$\theta^{mk,b}_t\in\{0,1\}$ и  $\theta^{mk,a}_t\in\{0,1\}$. b и a означают bid и ask соответственно. Таким образом  0 означает постановку ордера на лучшую цену покупки или продажи, а 1 означает постановку ордера на лучшую цену плюс/минус $\delta$. Если спред минимальный - $S_t=\delta$ то значение $\theta^{mk}_t$ может быть равно только 0.

2. Использование маркет ордеров (take strategy). Для получения мгновенного исполнения алгоритм может использовать маркет ордера. Маркет ордер, в отличие от лимитного, забирает ликвидность из стакана и имеет  высокую стоимость, равную половине спреда (без учета комиссии). Смоделируем данную стратегию как импульсный процесс в непрерывном времени:

$\theta^{tk}=\{\tau_n,\zeta_n\}$, где

$\tau_n$ - возрастающая последовательность моментов времени, когда используется маркет ордер,

$\zeta_n\in\{-\zeta_{max},\zeta_{max}\}$ - случайная переменная, представляющая число контрактов, купленных или проданных в эти моменты времени.

Для чего нужны все вышеописанные модели? Наша цель - составить уравнение оптимального контроля, в котором будет учтен как inventory risk, так и adverse selection risk. А решением этого уравнения будет матрица состояний, которую можно представить в виде графика с двумя осями значений - первая ось inventory level, это текущая открытая позиция, вторая ось - depth imbalance, то есть дизбаланс объемов в стакане. Таким образом эти оси значений представляют собой аргументы по которым происходит управление - по первой оси - inventory risk, по второй оси - adverse selection risk. Матрица состояний представляет собой  множество значений $\theta^{mk}_t$ и $\theta^{tk}$. Их можно представить на графике в виде области внутри квадрата, ограниченного рассмотренными осями значений. Такой график представлен в заглавии поста, для значения спреда $S_t=\delta$, на момент времени t=10 (за единицу времени может быть принят любой интервал, в зависимости от требуемой частоты сделок). На графике выделены следующие области:

1. Market making - в этой области выставляются ордера как на покупку так и на продажу по ценам best bid и best ask, то  есть $\theta^{mk,b}_t=0$ и $\theta^{mk,a}_t=0$;

2. Momentum (buy/sell). В этих областях необходимо срочное закрытие позиций, если они открыты в сторону, противоположную дизбалансу объемов и установление позиции согласно этому дизбалансу. Здесь используются маркет ордера, и $\theta^{tk}$ равен какому-то количеству контрактов, больше открытой позиции по модулю, противоположному по знаку.Точная величина зависит от значений на осях аргументов.

3. Inventory control (buy/sell). Эти области означают ликвидацию открытых позиций в ноль, также с использованием маркет ордеров, $\theta^{tk}$ равен открытой позиции с противоположным знаком.

4. Partial inventory control (buy/sell). Эти области аналогичны inventory control, но открытая позиция закрывается не полностью, $\theta^{tk}$ меньше открытой позиции по модулю,противоположна по знаку. Точная величина зависит от значений на осях аргументов.

В следующих статьях мы составим уравнение оптимального контроля и найдем его решение численными методами.