QuantAlgos

Линейная регрессия часто используется для вычисления пропорции хеджирования в парном трейдинге. В идеальной ситуации коэффициенты этой регрессии - наклон линии регрессии и свободный член (пересечение) остаются всегда постоянными. Однако в реальности все, конечно, не так радужно, и значения этих параметров постоянно меняются во времени. Как правильно вычислять коэффициенты регрессии, чтобы избежать подгонки к текущей ситуации, рассматривается в статье "Online Linear Regression using a Kalman Filter". Для этой цели в данной публикации используется фильтр Калмана. 

Для тестирования берутся исторические цены закрытия двух биржевых фондов ETF - австралийского EWA и канадского EWC с 2010 по 2014 год. Динамика цен этих фондов показывает взаимосвязь, что продемонстрировано на  диаграмме рассеивания в заглавии поста. Однако по этому же графику видно, что эту взаимосвязь невозможно описать с помощью линейной регрессии с постоянными коэффициентами. 

Приведем сначала уравнение линейной регрессии:

$a_k=\beta b_k+\alpha$,

где $a_k, b_k$ - приведенные цены фондов EWC и EWA соответственно, а $\beta,\alpha$ - коэффициенты регрессии - угол наклона и пересечение соответственно. Перепишем уравнение в матричной форме:

$a_k=\beta B_k$,

$\beta=[\beta\;\alpha]$

$B_k=\begin{bmatrix}b_k\\1\end{bmatrix}$

Фильтр Калмана - это модель пространства состояний, которая применяется рекурсивно на входном потоке зашумленных данных для  получения статистически оптимальной оценки состояния системы. Общая форма фильтра Калмана содержит передаточное уравнение и  уравнение наблюдений:

$x_{k+1}=A_kx_k+w_k$

$z_k=H_kx_k+v_k$

где $x_k,z_k$ - вектор скрытых состояний и вектор наблюдений в  момент времени k, $A_k,H_k$ - матрица переходов и наблюдений соответственно, $w_k,v_k$ - векторы гауссовского шума с нулевым средним.

Для наших целей предположим, что вектор состояний $x_k$ соостветствует вектору коэффициентов регрессии $\beta$. Также предположим, что угол наклона и пересечение следуют процессу случайного блуждания (random walk), тогда $A_k$ будет равна матрице идентичности $I$(матрице, где на главной диагонали единицы, остальные элементы - нули). В этом случае передаточное уравнение запишется:

$\beta_{k+1}=I\beta_k + w_k$,

то есть $\beta$ в следующий момент времени равна $\beta$ в текущий момент времени плюс шумовая составляющая.

На следующем шаге применим нашу модель к уравнению наблюдений фильтра Калмана. Для этого приведенные цены закрытия актива EWC обозначим как вектор наблюдений $z_k$, и матрицу наблюдений $H_k$ представим как вектор размерности 1х2 , содержащий в первой колонке приведенные цены закрытия EWA и единицами во второй колонке, подобно нашему вектору $B_k$. Таким образом, это просто линейная регрессия между двумя активами. Для подпрограммы на Python - pykalman, конструирующей фильтр Калмана, матрица наблюдений obs_mat выглядит так:

obs_mat = np.vstack([data.EWA, np.ones(data.EWA.shape)]).T[:, np.newaxis]
array([[[ 19.36,   1.  ]],
       [[ 19.42,   1.  ]],
       [[ 19.49,   1.  ]],
       ..., 
       [[ 26.02,   1.  ]],
       [[ 26.24,   1.  ]],
       [[ 26.42,   1.  ]]])

Последнее, что нужно сделать - определить шумовые составляющие $w_k,v_k$ . Установим ковариацию наблюдений, $v_k$, как единичный вектор. Тогда будем трактовать ковариацию переходов, $w_k$, как настраиваемый параметр для управления скоростью изменения коэффициентов регрессии:

delta = 1e-5
trans_cov = delta / (1 - delta) * np.eye(2)

Далее установим класс фильтра Калмана KalmanFilter из модуля pykalman :

kf = KalmanFilter(n_dim_obs=1, n_dim_state=2,
                  initial_state_mean=np.zeros(2),
                  initial_state_covariance=np.ones((2, 2)),
                  transition_matrices=np.eye(2),
                  observation_matrices=obs_mat,
                  observation_covariance=1.0,
                  transition_covariance=trans_cov)

и вычислим средние значения и ковариацию состояний:

state_means, state_covs = kf.filter(data.EWC.values)

В итоге мы получаем графики изменений коэффициентов регресии - угла наклона (slope) и пересечения (intercept):

Более наглядно можно показать, как подстраиваются коэффициенты регрессии в течение времени на диаграмме рассеивания активов EWA и EWC:

Думаю, те, кто практиковал парный трейдинг, найдет эту статью очень полезной, так как она решает один из главных вопросов в этом виде торговли - каким образом строить линейную регрессию, не попадая под обычную подгонку текущего состояния ценового спреда.