QuantAlgos

Начало здесь.

Задача оптимизации инвестиций

Целью трейдера при открытии позиций в активах является максимизация ожидания имеющихся ресурсов при постоянной ревизии этих позиций в течение времени, для того, чтобы обеспечить  динамическую оптимальность стратегии. Обозначим $\pi=(\pi_t^0,\pi_t^1,...,\pi_t^n)_{0\leq t\leq T}$ величину в денежном исчислении, инвестированную в безрисковый $\pi_t^0$ и рисковые активы $(\pi_t^1,...,\pi_t^n)$. Тогда количество открытых трейдером контрактов будет равно $m_t^k=\frac{\pi_t^k}{Y_t^k}$. Опустим сложный вывод конечной формулы и представим окончательное решение в закрытой форме для доли инвестиций в активы:

$\pi^*=\frac{1}{\gamma}\{\mathbf{\Omega}^{-1}(\mathbf{\delta}\alpha+\mathbf{\nu})+(\mathbf{\delta}'\mathbf{\Omega}\mathbf{\delta})[\frac{1}{2}\tau(\alpha-2\frac{\mathbf{\delta'\Omega\nu}}{\mathbf{\delta'\Omega\delta}})+\frac{1}{4}Tr(\mathbf{A\Omega})\tau^2]\mathbf{a}\}$,

где $\pi^*$ - вектор оптимальных долей в используемых активах,

$\tau=T-t$,

$\gamma$ - мера риска (подбирается при тестировании).

Первое слагаемое в приведенной формуле является классической мертоновской задачей, при том, что $(\mathbf{\delta}\alpha+\mathbf{\nu})$ - дрифт цен активов. Второе слагаемое, пропорциональное а, представляет собой корректировку, связанную с коинтеграцией. Как показывает это выражение, преобразования в мертоновском портфеле уменьшаются при приближении конечного времени Т. В итоге, оптимальная стратегия зависит от $\alpha$, в  общем случае оптимального инвестирования в несколько коинтегрированных активов.

Эмпирическая производительность стратегии

В этом разделе мы продемонстрируем поведение стратегии в случае использования трех активов. Агент торгует портфелем из трех акций - GOOGL, FB, AMAZON, и мы используем реальные данные с биржи Nasdaq для определения параметров модели. Конкретно, мы используем средние цены книги заявок с периодичностью в одну минуту от 3 ноября 2014 года, для определения параметров VAR(1) модели логарифма цен в соответствии с регрессией:

$\mathbf{Z}_n=\mathbf{b}+\mathbf{CZ_{n-1}}+\epsilon_n$,

где $\mathbf{Z}_n=\log(\mathbf{Y}_n),\epsilon_1,\epsilon_2,...$ - независимые случайные переменные со стандартным нормальным распределением (с ковариационной матрицей $\mathbf{\Omega}$) и 3х1 вектор b, и 3х3 матрица С , установленные из множественной регрессии. Из ошибок регрессии затем составляется дисперсионно-ковариационная матрица для $\epsilon_1$. В таблицах ниже представлены результаты вычислений коэффициентов и дисперсионно-ковариационной матрицы.

На рисунке ниже показано значение коинтеграционного фактора $\alpha_t$ из тренировочной выборки, представляющего собой, как и ожидалось, процесс возврата к среднему. Прерывистая линия на рисунке показывает уровень возврата к среднему, плюс/минус два стандартных отклонения от коинтеграционного фактора вокруг уровня возврата к среднему (линии с точкой). Понятно, что краткосрочные отклонения от этого уровня являются основной причиной прибыльности стратегии, которую мы обсудим ниже.

  Далее, уменьшим размерность задачи до случая одного коинтеграционного фактора путем следующей последовательности трансформаций:

1. Определим  $\mathbf{k}=\mathbf{I}-\mathbf{C}$ - матрица возврата к среднему, где $\mathbf{I}$ - единичная матрица.

2. Определим $\Theta=\mathbf{k}^{-1}\mathbf{b}$ - уровень возврата к среднему

3. Диагонализируем $\mathbf{k}$ путем разложения $\mathbf{k}=\mathbf{UDU^{-1}}$, где $\mathbf{D}$ - матрица собственных значений, сортированных от наибольшего к наименьшему, $\mathbf{U}$ - матрица собственных значений, составленных постолбцово.

4. Определим матрицу с уменьшенной размерностью $\tilde{k}=\mathbf{U\tilde{D}U^{-1}}$, где $\mathbf{\tilde{D}}=(D_{11},0,0...,0)$.

5. Затем установим $a_k=-\tilde{k}_{1k},\delta_k=\frac{\tilde{k}_{1k}}{\tilde{k}_{11}},\nu_k=(\tilde{k}\Theta)_k+\frac{1}{2}\Omega_{kk}$.

Результаты преобразований показаны в таблице ниже.

Отметим, что $\mathbf{\delta'a}<0$, значит процесс $\alpha$, несомненно, процесс возврата к среднему.

Для иллюстрации производительности стратегии мы произвели 10 000 симуляций и записали профиль P&L в каждом случае. Мы использовали установленные выше параметры для симуляции компонента краткосрочной альфы и графика коинтеграционной цены (для каждой минуты внутри торгового горизонта) для Google, Facebook и Amazon. Для каждого прохода мы предполагали, что агент начинает с нулевыми открытыми позициями в активах и все позиции ликвидируются в конце дня,все транзакции происходят по средней цене книги заявок и нет транзакционных издержек. На графиках в заглавии поста показан один из симуляционных путей $\alpha_t$ и соответствующие ему оптимальные позиции в активах. На графиках ниже изображен процесс изменения ресурсов агента для данного пути и гистограмма прибыли/убытков для 10 000 проходов. Среднее значение прибыли составляет 91,99 и стандартное отклонение прибыли 20,27.

Для данного конкретного прохода мы видим, что открытые позиции агента всегда находятся между 4 длинными и 6 короткими контрактами и прибыль в конце торгового периода составила приблизительно 80$. Открытые позиции активов демонстрируют паттерн, похожий на краткосрочную альфа прохода, оба показаны в заглавии поста. Помните, что $\alpha_t$ включает дрифт каждого актива, так что во время, когда альфа выше уровня возврата к среднему соответствует моменту, где есть ожидание быстрого роста средних цен , то есть оптимальная стратегия - покупка актива.Соответственно, когда $\alpha_t$ ниже уровня возрата к среднему - ожидание медленного роста цен (или даже их падения), где оптимально входить в короткие позиции по активам для получения краткосрочной прибыли от их снижения.

Заключение

Мы показали процесс оптимальной торговли набором коинтегрированных активов. Мы смоделировали структурную зависимость через общий компонент и дрифт приращений цен активов. Этот общий компонент является коинтеграционным фактором, который мы назвали краткосрочной альфа, и он является основным источником прибыльности в оптимальной инвестиционной стратегии.