QuantAlgos

Продолжаем разбирать работу JIANGMIN XU "Optimal Strategies of High Frequency Traders". Чтобы составить уравнение оптимального контроля, сначала сформулируем проблему оптимизации алгоритма при используемых стратегиях $\theta$,  как достижение максимума следующего матожидания:

$\begin{equation}\max_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_0[X_T-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]\end{equation}$, где

интеграл $\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t$ представляет собой штрафную функцию удержания ненулевой открытой позиции рискованного актива, $\gamma$ - постоянный коэффициент, $d[P,P]_t$ - квадратичное изменение средней цены p, $X_T$ - кэш трейдера на момент времени окончания торговли T.

Далее определим функцию, которая представляет активы трейдера после ликвидации всех открытых позиций в конце торговли по алгоритму с помощью маркет ордера:

$Q(x,y,p,f,s)=x+py-|y|(\frac{s}{2}+\epsilon)$, где

x - кэш трейдера,

p- средняя цена (в стакане),

y - открытая позиция,

s - спред,

f - дисбаланс объемов в стакане,

$\epsilon$ - комиссия. 

С учетом функции Q  дадим определение так называемой функции владения, которую мы и будем максимизировать на всем протяжении работы алгоритма:

$V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\theta^{mk},\theta^{tk}}\mathbb{E}_t[X_T+P_T Y_T-|Y_T|(\frac{S_T}{2}+\epsilon)-\gamma\int^T_0 Y^2_{t-}d[P,P]_t]$

Проблема оптимального контроля решаается с применением динамически программируемых уравнений,и для  составления первого уравнения для котировочных стратегий $\theta^{mk}$ представим инфинитезимальный оператор второго порядка $\mathcal{L}$:

$\mathcal{L}\circ V(t,x,y,p,f,s)=(\mathcal{L}^P+\mathcal{L}^S+\mathcal{L}^F)\circ V(t,x,y,p,f,s)+g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)\cdot V(t,x-(p-s/2+\delta \theta^{mk,b}_t),y+1,p,f,s)+g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)\cdot V(t,x+(p+s/2-\delta \theta^{mk,a}_t),y-1,p,f,s)$

$\mathcal{L}^P,\mathcal{L}^F,\mathcal{L}^S$ - инфинитезимальные операторы процесса изменения средней цены P, дисбаланса объема в стакане F  и спреда S соответственно. Несмотря на страшное название данные операторы просто обозначают воздействие изменяющихся в течение времени процессов цены, дисбаланса и спреда на функцию владения - то есть на активы, которыми владеет трейдер. Функции

$g^a(f,s,\theta^{mk,b}_t)=\theta^{mk,b}_t \lambda^a+(1-\theta^{mk,b}_t) \lambda^a h(f)$

$g^b(f,s,\theta^{mk,a}_t)=\theta^{mk,a}_t \lambda^b+(1-\theta^{mk,a}_t) \lambda^b h(-f)$

являются ни чем иным, как ожидаемой частотой исполнения лимитных ордеров на биде и аске соответственно. Здесь $h(f)$ - вероятность взятия лимит ордера на лучшем аске(биде) в очереди заявок, в зависимости от дисбаланса f, имеет форму $h(u)=1/(1+\exp(\varsigma_0+\varsigma_1 u))$, $\varsigma_0, \varsigma_1$ - положительные константы. $\lambda^a,\lambda^b$ -  частоты прихода маркет ордеров на бид и аск.

Для составления вторoго уравнения  стратегии с маркет ордерами (take strategy) $\theta^{tk}$ , нам понадобится оператор импульсного управления $\mathcal{M}$:

$\mathcal{M}\circ V(t,x,y,p,f,s)=\sup_{\zeta\in\{-\zeta_{max},\zeta_{max}\}}(V(t,x-\zeta p-|\zeta|(s/2+\epsilon),y+\zeta,p,f,s))$ .

Этот оператор отражает воздействие на функцию $V(t,x,y,p,f,s)$ стратегии $\theta^{tk}$, с целью максимизации функции владения в течение применения этой стратегии.

С операторами $\mathcal{L},\mathcal{M}$ мы сможем составить неравенство, которое называется квазивариационное неравенство Хамильтона-Якоби-Беллмана (HJB-QVI):

$\max\left\{\frac{\partial V}{\partial t}+\sup\{\mathcal{L}\circ V\}-\gamma y^2\frac{\mathbb{E_t}[P,P]_t}{dt},\mathcal{M}\circ V-V\right\}=0$, на промежутке $[0, T), (T$ - время ликвидации открытых позиций (окончание торговли)), и составляет систему уравнений с терминальным условием:

$V(T,x,y,p,f,s)=x+py-|y|(s/2+\epsilon)$.

Решением этой системы уравнений и будет набор стратегий $\theta^{mk}_t, \theta^{tk}_t$, вычисленные на каждый момент времени в промежутке $[0,T)$, и на каждую величину спреда s, как изображено на графиках в заглавии статьи. Обратите внимание, что там появилась новая область в связи с размером спреда $s>\delta$ - Pinging on bid\ask side. В этой области значения $\theta^{mk}$ равны 1 для бида/аска, что означает, что лимитные ордера выставляются в стакане на тик больше бида (тик меньше аска) - см. часть2 настоящей статьи.

В следующей части рассмотрим как решить систему уравнений численными методами.